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Archive for the ‘Curiosidades’ Category

  •  Para el próximo martes habrá que tener hecha la segunda hoja de probabilidad. Hoja2Probabilidad
  • Por último os pongo este vídeo. Titulado La belleza de las Matemáticas.
  • En el vídeo vemos la imagen dividida en tres partes con distinta información. En la derecha se ve una imagen familiar para nosotros, de nuestra vida cotidiana (como el encendido de una lámpara, una tirada de dados o una gran nevada); en el centro nos muestran una representación gráfica físico-matemática de dicha imagen; y en la izquierda las ecuaciones matemáticas que describen cada una de ellas.Sin duda un vídeo que merece la pena ver para que nos quede todavía más claro que nuestra vida diaria está regida (y, por tanto, puede en cierta forma explicarse) por las matemáticas:
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No todo va a ser trabajo. Os pongo un vídeo bastante interensante sobre la historia del número 1.

Os animo para que lo veais y espero que os guste. 

Si alguno encuentra otras curiosidades matemáticas, las podemos publicar en este blog.

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Queridas parábolas

La parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.

Aunque esta es la definición original de la parábola, es común definir la parábola como el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada, llamada directriz, y a un punto exterior a ella, que se denomina foco. Una propiedad importante de la parábola es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco.

Las aplicaciones prácticas de este hecho son muchas. Las antenas parabólicas de televisión aprovechan este principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco. También las antenas satelitales como las que vimos en las instalaciones de la N.AS.A. en Robledo de Chavela.

robledo

Antenas de la NASA en Robledo de Chavela

La concentración de la radiación solar en un punto tiene su aplicación en la captación de energía solar. El Centro Nacional de Investigación Científica francés tiene instalado en Font Romeu (Pirineos Orientales) un gran horno solar con una potencia de 1000 KW y una superficie de 90 m2 que consigue temperaturas de 3500 ºC. Desde su construcción en 1970 ostenta el título del horno solar más grande del mundo.

A nivel más doméstico, esta propiedad de la parábola sirve para la construcción de reflectores parabólicos como cocinas solares. En el foco del paraboloide se coloca la olla que cocinará los alimentos. Estas cocinas solares de concentración generan altas temperaturas (pueden llegar a 300º C) y permiten freír alimentos o hervir agua.

 

Cocina solar parabólica

En este vídeo verás más sitios en la vida real donde podemos encontrar parábolas:

PROBLEMA DE LA SEMANA: en el vídeo que acabas de ver nos han colado algunos errores, esto es, curvas que no son parábolas. ¿Serías capaz de descubrirlas?

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La paradoja del cumpleaños

La paradoja del cumpleaños establece que, para que haya una probabilidad del 50 % de que dos personas cumplan años el mismo día SOLO SE NECESITAN 23 PERSONAS. Esto significa que en el instituto, seguramente en una de cada dos clases hay dos alumnos que cumplen años el mismo día. Sorprendente, ¿no? Pero es que con 60 personas la probabilidad ya es mayor del 99% !!! Esto no es magia, solo se necesitan una nociones básicas de combinatoria y probabilidad para entenderlo.

Vamos a calcular el suceso contrario, que es que dos personas NO cumplan años el mismo día. La primera persona tiene 365 posibilidades diferentes de cumplir años. La segunda, puesto que queremos que no cumpla años el mismo día, tiene 364 posibilidades. La tercera 363, etc. En total existen 365 × 364 × 363 × … 342 posibilidades. Por otro lado existen 36523 formas diferentes de que 23 personas cumplan años. Por la Ley de Laplace, si dividimos ambos resultados tenemos la probabilidad pedida, que es 0,493. Ahora solo tenemos que restarla de 1 para obtener lo que nosotros queríamos: la probabilidad de que dos personas cumplan años el mismo día: 0,507, algo más del 50 %.

En general, la fórmula que permite calcular la probabilidad de que dos personas de n cumplan años el mismo día es:

Y si lo repressentamos en una gráfica veremos lo rápido que evoluciona la probabilidad en función de n:

¿Os ha gustado? En este enlace tenéis más detalles sobre este sorprendente resultado.

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Los isótopos radiactivos tienen una velocidad de desintegración que sigue una curva exponencial de forma bastante exacta y tardan en reducirse a la mitad (periodo de semidesintegración) una cantidad conocida de años. La fórmula que permite calcular el material que queda sin descomponer pasados t años se ajusta a la curva.

Cf=Ci*e^{-\lambda t}

Ci= Cantidad inicial

Cf= Cantidad final

\lambda    = constante de desintegración

Para saber cuánto tiempo debe pasar para que la cantidad inicial se reduzca a la mitad debemos resolver la ecuación:

\frac{Ci}{2}=Ci*e^{-\lambda t}

\frac{1}{2}=e^{-\lambda t}

ln\frac{1}{2}=-\lambda t

y se despejaría t. Como ves, el logaritmo neperiano se encuentra implicado en esta operación.

El isótopo uranio 238 tiene un periodo de semidesintegración de 4,468 · 109 años. Al final de ese periodo la mitad del uranio se ha convertido en plomo. El geoquímico estadounidense Clair Cameron Patterson (1922 – 1995) utilizó los datos de desintegración del uranio 238 para determinar en 1953 la edad de la Tierra en 4.550 millones de años, una medición que hoy en día sigue siendo válida. Para realizar dicha medición y dada la complejidad que suponía encontrar rocas lo suficientemente antiguas utilizó rocas encontradas en meteoritos, concretamente el meteorito de Canyon Diablo (EE.UU.).

TAREA PARA EL VIERNES:

Hacer los ejercicios 1 al 11 de la hoja de Ejercicios de sucesiones y logaritmos

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La leyenda del ajedrez

Una leyenda cuenta que el inventor del ajedrez presentó su invento a un príncipe de la India. El príncipe quedó tan impresionado que quiso premiarle generosamente, para lo cual le dijo: “Pídeme lo que quieras, que te lo daré”. El inventor del ajedrez formuló su petición del modo siguiente: “Deseo que me entregues un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, dieciseis por la quinta, y así sucesivamente hasta la casilla 64”.

El príncipe se sorprendió de que no pidiera oro, joyas u otras riquezas, e indicó a su secretario de que trajera los sacos de trigo que pedía. La sorpresa fue cuando el secretario del príncipe calculó la cantidad de trigo que representaba la petición del inventor, porque toda la tierra del reino sembrada de trigo era insuficiente para obtener lo que pedía el inventor.

Esta bella historia nos ha dado pie para introducir el concepto de sucesión y límite de una sucesión cuya primera parte hemos visto en esta presentación.

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Factorial

¿De cuántas maneras se pueden ordenar 4 personas en una fila? Pues bien, en primer lugar podrían estar cualquiera de las cuatro personas. En segundo lugar ya sólo puede haber tres posibilidades porque el primer puesto está asignado, eso quiere decir que para los dos primeros puestos tenemos 4*3=12 casos. Para el tercer lugar ya sólo nos quedan dos posibilidades (llevamos 4*3*2=24 casos) y en el cuarto lugar tiene que estar la persona que quede libre. Por lo tanto hay 4*3*2*1=24 formas de ordenar a 4 personas en una fila.

Es evidente que si fueran 5 personas habría 5*4*3*2*1= 120 formas de ordenarlos.

En general, al resultado de multiplicar un entero positivo por todos los anteriores hasta el 1 se llama factorial de ese número. Por lo tanto, el factorial de n o n factorial se define como

 n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ... \times (n-1) \times n \,

La multiplicación anterior se puede simbolizar también como

 n! = \prod_{k=1}^n k

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. El factorial ya era conocido por los matemáticos indios en el siglo XII, aunque la notación actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803.

El factorial de un número crece de forma desmesurada. He aquí los factoriales de algunos números:

N n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
12 479001600
14 87178291200
16 20922789888000
18 6402373705728000
20 2432902008176640000
25 1.5511210043×1025
42 1.4050061178×1051
50 3.0414093202×1064
70 1.1978571670×10100
100 9.3326215444×10157
450 1.7333687331×101,000
1000 4.0238726008×102,567

PROBLEMA DE LA SEMANA: ¿En cuántos ceros termina 100!? (Lo siento, pero la calculadora no puede ayudarte mucho en este problema)

 

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